Как решать уравнения с знаком

Решение уравнений содержащих знак модуля

как решать уравнения с знаком

Как решать уравнения, содержащие этот самый модуль? . Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу. При решении и преобразовании уравнений зачастую возникает правилу, перенося слагаемое в другую часть уравнения, нужно изменить знак на. Для решения линейных уравнений используют два основных правила ( свойства). Так как в левой части уравнения у числа «3» был знак «+», значит в.

При делении левой части 5х пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось.

как решать уравнения с знаком

А при делении правой части 10 на пять, получилась, знамо дело, двойка. Забавно, но эти два всего два! Имеет смысл посмотреть на примерах, что и как, правда? Примеры тождественных преобразований уравнений. Начнём с первого тождественного преобразования.

Допустим, надо решить вот такое уравнение: Какое выражение с иксом у нас справа? Справа у нас -3х! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс. Ответ "с никаким" не принимается! Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс. Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом. Слева - привести подобные, справа - посчитать. Первым шагом всё равно будет базовое тождественное преобразование.

Надо выражение с иксом -lgx перенести из правой части в левую. Кто понимает логарифмы, тот уже запросто дорешает пример. Без переноса влево-вправо это было бы затруднительно Эти два примера показывают универсальность первого тождественного преобразования.

Нигде его не обойти. Стало быть, надо уметь легко и непринуждённо его делать. Собственно, ошибиться здесь можно только в одном. Забыть сменить знак при переносе. Что и происходит сплошь и. Внимательнее надо быть, да Приступим ко второму тождественному преобразованию.

Иррациональные уравнения примеры с решениями

Оно так же универсально и популярно, как и первое. Но простора для ошибок в нём побольше. Разберёмся, что к чему? Пусть нам надо решить вот такое суровое уравнение: Нам в ответе всегда чистый икс нужен! Как можно от неё избавиться? Тройка с иксом умножением связана. Нельзя её оторвать и вправо перенести. Вот всё выражение 3х можно переносить только зачем?

как решать уравнения с знаком

Самое время про умножение-деление вспомнить! Чтобы слева остался чистый икс, надо левую часть разделить на три. Получим икс, чего и требовалось. Правую часть тоже придётся разделить на три. Что уж там получится, то и получится.

Как решать иррациональные уравнения. Примеры.

Здесь без логарифмов обойдёмся. Именно она нам мешает. Это не очень в уме удобно… Можно поступить гораздо проще. Слева всё равно чистый икс получится, а умножать на 5 - не самая трудная работа. Умножение обеих частей на нужное число, позволяет сразу избавляться от дробей, минуя промежуточные выкладки, в которых, между прочим, вполне можно и ошибок наляпать.

Короче дорога — меньше ошибок! Как видите, тождественные преобразования уравнений - штука не самая сложная. Однако, не у всех они получаются Есть две главные причины. Причина первая для начинающих: Иногда человек думает, что упрощение примеров делается по одному, раз и навсегда установленному правилу.

И никак не может понять это правило. В одном примере начинают с переноса В другом с домножения В третьем три раза домножают и ни разу не переносят Тоскует человек от неопределённости. А правила никакого. Есть разрешённые математикой преобразования целых два!

В удобном нам порядке.

Основы алгебры/Правило переноса слагаемого — Викиучебник

Порядок зависит исключительно от исходного примера и личных привычек решающего. Причина вторая почти для всех В преобразованиях постоянно приходится перемножать скобки Заключать выражения в скобки и раскрывать их Складывать и вычитать дроби Умножать и делить дроби Короче, в наличии весь набор элементарных вычислений.

Обе эти причины замечательно устраняются практикой. Исчезают сомнения и ошибки. Примеры становятся проще, задания - легче. Как выразить одну переменную через другую?

Как выразить переменную из формулы? Умение делать такие вещи крайне необходимо в математике. Во всех разделах, без исключения. По этой причине, задания подобного рода обязательно присутствуют в выпускных экзаменах.

  • Основы алгебры/Правило переноса слагаемого
  • Решение уравнений со знаком модуля
  • Линейные уравнения. Решение линейных уравнений. Правило переноса слагаемого.

И в базовом уровне, и в профильном. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что ничего сложного здесь. Есть применение тождественных преобразований уравнений и Вся теоретическая часть подобных заданий заключается в одной фразе. Вот она, эта фраза: А получится вот что: Ну и что из этого набора пойдёт в окончательный ответ? Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства: Да просто подставим найденные корни и проверим: И в ответ пойдут лишь два корня: Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах.

Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля. Уравнения с двумя модулями До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа: Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор.

А вот и нет: А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы! Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и. Давайте попробуем решать вот такую задачу: Потому и нет корней.: Со вторым уравнением всё чуть интереснее, но тоже очень и очень просто: В итоге окончательный ответ: Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля: Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом: Но ведь ничто не мешает нам переписать исходное уравнение следующим образом: Мелочь, которая в итоге немного упростит нам жизнь.: В общем, решаем это уравнение, рассматривая варианты с плюсом и с минусом: Второе вообще является точным квадратом: Но этот корень мы уже получали ранее.

Таким образом, в итоговый ответ пойдут лишь два числа: Можно взять с полки и скушать пирожок. Там их 2, ваш средний.: Наличие одинаковых корней при разных вариантах раскрытия модуля означает, что исходные многочлены раскладываются на множители, и среди этих множителей обязательно будет общий. Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку: Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.: Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике.

Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и.

И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.: Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. Тем не менее, это уравнение решается даже проще, чем то, что мы рассматривали ранее.

И если вы поймёте почему, то получите ещё один приём для быстрого решения уравнений с модулями. В чём вообще проблема? А проблема в том, что каждый модуль — число положительное, либо в крайнем случае ноль. А что будет, если сложить два положительных числа?

Очевидно, снова положительное число: Только в одном случае — когда подмодульное выражение равно нулю: Однако нам нужно, чтобы оба модуля обнулялись одновременно, поэтому среди найденных чисел нужно выбрать те, которые входят в оба набора.

Очевидно, такое число лишь одно: Метод расщепления Что ж, мы уже рассмотрели кучу задач и изучили множество приёмов. Думаете, на этом всё? А вот и нет! Сейчас мы рассмотрим заключительный приём — и одновременно самый важный. Речь пойдёт о расщеплении уравнений с модулем. О чём вообще пойдёт речь? Давайте вернёмся немного назад и рассмотрим какое-нибудь простое уравнение. Но попробуем взглянуть на это уравнение немного под другим углом. Точнее, рассмотрим выражение, стоящее под знаком модуля.

Напомню, что модуль любого числа может быть равен самому числу, а может быть противоположен этому числу: Но что если изначально потребовать, чтобы это число было положительным? Но тогда возникает странная ситуация: От таких уравнений даже Капитан очевидность подавился бы слюной, но мы-то знаем: Вместе с тем у нас есть ограничение: Таким образом, помимо интервала нас устроит ещё и число, лежащее на самом конце этого интервала: Объединение корней в уравнениях с модулем Итого окончательный ответ: Не очень-то привычно видеть такую хрень в ответе к довольно простому по сути — линейному уравнению с модулем, правда?

И состоит этот алгоритм из следующих шагов: Приравнять каждый модуль, имеющийся в уравнении, к нулю. Получим несколько уравнений; Решить все эти уравнения и отметить корни на числовой прямой. В результате прямая разобьётся на несколько интервалов, на каждом из которых все модули однозначно раскрываются; Решить исходное уравнение для каждого интервала и объединить полученные ответы.